Tarea n°3 – Cálculo diferencial

Buenos días estimad@s estudiantes

En el siguiente link podrán descargar la tarea n° 3 del curso:

Tarea 03-01-13-CalDIf-UN

Recuerden que dicha tarea tendrá que ser entregada el próximo martes 21 de mayo, día que tendremos nuestro segundo examen parcial. No olviden tener en cuenta las pautas de presentación de las tareas establecidas al principio del curso. Pueden entregarla máximo en parejas.

Dudas y/o comentarios por favor postearlos aquí.

UN saludo para tod@s 🙂

 

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88 comentarios en “Tarea n°3 – Cálculo diferencial

    • Como tu desees, puedes por ejemplo usar derivación logarítmica (dado que tienes una raíz y un cociente) o puedes calcularla directamente usando regla de la cadena.

  1. profe pero en el punto 2e se supone que es verdadero cierto? el problema es que hago la derivada dela elipse y después saco la ecuación de la recta con y-yo = – (xob^2)/(yoa^2) (x-xo) y meda algo diferente a lo que se estipula ahí….estoy simplificando mal o que estoy haciendo mal?

    • Tienes que intentar usar el hecho que el punto (x0, y0) está sobre la elipse, es decir, que este punto satisface la ecuación de dicha curva.

    • y-yo = – ((XoXb^2)/(Yoa^2)) + ((Xo^2b^2)/(Yoa^2))
      multiplicar toda la expresion por Yo/b^2. Despues de que ya que multiplica elimina los terminos que se puede cancelar y despues sale la ecuacion (Xo^2/a^2+Yo^2/b^2) que reemplaza por 1 y listo hay sale ( una pregunta ud ya hizo el 4 ) si me puediera ayudar que ese no me da.

    • Lo primero que debes hacer es considerar un punto (x0,y0) que supones en la intersección de ambas curvas. Esto significa en particular que dicho punto satisface las ecuaciones que describen la curva. Una vez hecho esto calculas la pendiente de la recta tangente a cada una de estas curvas en este punto y, para ello, usas derivación implícita, despejas dy/dx y reemplazas en esta expresión obtenida x por x0 y y por y0. Finalmente, debes mostrar que el producto de estas pendientes es -1 (es decir, que dichas tangentes son perpendiculares) lo cual consigues usando las hipótesis que te da el problema y el hecho que este punto satisface ambas ecuaciones (tanto la de la elipse como la de la hipérbola)

      • profe, es que yo hago eso, reemplazo x e y, y ambos los dejo en terminos de las contantes a,b A y B y luego igualo las dos pendientes a -1 y reemplazo los valores de x e y donde se requiera en las pendientes, pero pues me da unas ecuaciones supremamente largas, ni siquiera me he atrvido ha llegar al final , pero noc reo que me valla a dar ¿no hay forma de llegar a ella?

    • En este caso tienes la igualdad de dos polinomios (el de la izquierda con el de la derecha). Ahora, dos polinomios son iguales sii tienen el mismo grado y además los coeficientes correspondientes a las mismas potencias de x’s son iguales. Así, por ejemplo, el coeficiente de x^2 a la derecha debe ser igual al coeficiente de x^2 de la izquierda, e.d., -2A=1. De igual forma, dado que x no aparece a la derecha, eso quiere decir que su coeficiente es cero, así 2A-2B=0…y así continúas….

      • Exactamente….el ejercicio en ningún momento afirma que dicho punto está sobre la curva, sólo que las rectas (pues son dos) pasan por este punto. Puedes revisar abajo algunos comentarios en los que dí pistas de cómo resolver este ejercicio.

  2. profe en el punto 2a se demuestra lim sen(1/h) x->0 diciendo que no hay una tendencia a hacercarse a cero porque los numeros cercado a cero tomas diferentes valores en cada punto o toca con la definicion formal, O como se demostraria este hecho

    • ¿Recuerdas el ejemplo que hicimos la primera clase que vimos límites? Tomando ciertos valores de x para los que la función, cerca de cero, vale 1 y tomamos infinitos valores de x cercanos a cero en los que la función vale -1. En consecuencia, dada la oscilación de la función cerca a cero, podemos afirmar que el límite no existe (este ejemplo también está en una de las primeras secciones de límites del Stewart)

  3. que pena, es que no entiendo una cosa en el 2a, segun la definicion de limite, la funcion se evalua en puntos muy cercanos a un punto pero nunca lo evalua en si, entonces la funcion nunca se evalua en 0, puesto que se evalua en diferencias mayores que 0, en 0, y la funcion xSin(1/x) es continua en el resto de la funcion ¿esto demostraria que es derivable?

    • Nop… para resolver este ejercicio, lo mejor es intentar calcular f'(0) usando directamente la definición con límite. Al hacer los cálculos correspondientes obtienes el límite
      lim h→0 sen(1/h), pero este límite no existe (esto ya lo hicimos al principio del curso, pero debe hacerse como parte del ejercicio). Puedes revisar también en el Stewart, allí también está como ejemplo.

  4. buenas noches profesora era para preguntarle acerca del punto 2d pues al igual q mis compañeros la derivada de x^y=y^x me da dy/dx=(y(xlny-y))/(x(ylnx-x)) y quisiera confirmar si si es cierto o q es lo q estoy haciendo mal

  5. Hola profe, una pregunta en general: Se supone que cuando uno deriva implícitamente despeja a Y. bien, en varios ejercicios lo he hecho pero me sigue apareciendo una Y implícita en la expresión. Por ejemplo en el ejercicio iii, la segunda derivada de la ecuación me da [ y / (x+e^y) ^2 ] y para encontrar el valor de esta derivada en x=0 pues se reemplaza el cero en la ecuación, pero y el valor de Y ?

    • Respecto a lo que me preguntas, dado el valor de x=0, tienes que hallar su correspondiente valor en y: para ello reemplazas en la ecuación x por o y obtienes e^y=e, ¿para qué valor de y es posible esto? ¿es único dicho valor de y? ¿por qué?

    • No es necesario usar ln; basta que consideres la ecuación y derives con respecto a x implícitamente. Haciendo esto obtendrías:
      y+xy’+e^y*y’=0 y despejas y’. Una vez tengas y’, vuelves y derivas implícitamente y’ para obtener y” y, dónde aparezca y’ reemplazas por lo que obtuviste antes….dale y me cuentas cualquier cosa…

      • Profe no entiendo la ultima parte donde dices que una vez tenga y´vuelvo a derivar implicitamente y´… yo ya obtuve y´, pero lo que yo estaba haciendo era derivar normal por qué, a que igualo esa y´para derivar implicitamente? dentro de mi primera derivada yo obtuve una y, que al derivar la sacaba porque supuse que la tomaba como una constante, entonces esta mal según tu explicación… Mejor dicho, resumiendo… ¿Debo tomar esa y que me quedo dentro de la respuesta de la primera derivada y derivararla implicitamente y no como una constante, pero no se supone que derivación implicita me dice que “derivo a ambos lados de la ecuación” entonces que tendría al lado izquierdo, si ya al lado derecho tengo el valor que obtuve de y´? Perdón si tal vez no lo veo tan simple, pero de verás que no se como continuar el ejercicio, te agradecería inmensamente una explicación más clara y especifica 🙂 Gracias

      • Posdata: A mi la segunda derivada cuando x=o me dió (y)/((e^y)^x), pero estaba tomando la y como constante… Gracias por tu respuesta!

    • Te dan la ecuación de la elipse. Para hallar la pendiente de la tangente a la curva en el punto (x_0 , y_0), debes hallar dy/dx usando derivación implícita, y luego evaluarla en (x_0 , y_0). Así que no es necesario reescribir la ecuación, sólo derivas implícitamente obteniendo
      2x/a^2 +2y y’/b^2 = 0…despejas y’….

  6. Profe en en punto 2d, me da después de derivar a ambos lados x^(y).(y/x)+y´logx=y^(x).(y´/y).x+logy si es asi? De ser así, me enrede en el despejde de y´ me podrías ayudar con eso porfa?

    • Además me enrede mucho para las derivadas a cada lado, podrías darnos una explicación por acá? Como sería el primer paso para empezar a derivar a cada lado? Es decir, como quedaria la derivada de x^y=y^x’, sería apicar regla de la cadena pero como seria la derivada externa de x^y? O se podría expresar x^y como e^(ylog(x)) y ahi si empezar a derivar? Adicional, si quisiera que me colaboraras con la pregunta anterior para despejar ese y´ que al reodernar terminos termina cancelandose y no creo que sea así, o no se si este omitiendo alguna propiedad pero ya las revise y sigo sin poder despejar! Gracias Profe 😀

      • En efecto: tomas ln en ambos lados de la ecuación, con esto tendrías y ln(x) = x ln(y) y derivas implícitamente esta igualdad con respecto a x con lo que obtendrías (nota que tienes dos productos a derivar):
        y’ ln(x) + y (1/x)=ln(y)+x(1/y)*y’
        Finalmente, despejas y’ 🙂

    • ¿Y cómo calcularías los límites laterales?…la idea es usar el ejemplo que hicimos al principio de semestre. De hecho recuerda que demostramos la no existencia de este límite usando el hecho que existen infinitos valores de x cercanos a 0 para los que la función vale 1 e infinitos valores de x cercanos a 0 para lo que f toma el valor -1. Si no estuviste en aquella clase, puedes revisar el Stewart, allí está le ejemplo.

    • La idea es demostrar que si (x_0 , y_0) es un punto en la intersección de la elipse y la hipérbola dada, y si m_1 y m_2 son las pendientes de las tangentes a la elipse y a la hipérbola en este punto, respectivamente, entonces m_1 * m_2 =-1.
      Para ello debes hallar dichas pendientes usando derivación implícita y evaluarlas en (x_0 , y_0), luego usar las condiciones que te están dando sobre las constantes y el hecho que el punto (x_0 , y_0) está sobre ambas curvas, es decir, que satisface tanto a ecuación de la hipérbola como la de la elipse.

  7. Profe no entiendo como abordar el punto 2a, para demostrar que el limite no existe uso la definición f(x+h), reemplazando entonces queda lim (h->o) ((x+h).sen(1/(x+h))-x.sen(1/x))/h y luego de eso puedo usar sen(a+b)=sen(a)cos(b)+cos(a)sen(b)? pero, como tengo es sen(1/(x+h)) en ese caso como lo resuelvo? para poder despejar el limite? O no se hace con esa identidad?

    • Sip, derivas implícitamente para hallar la pendiente de la recta tangente, es decir, para encontrar y’, luego reemplazas por (x_0, y_0) y con este valor de la pendiente, junto con el punto, escribes la ecuación de la tangente.

  8. Profe yo podría calcular limites con la definición, y si tengo por ejemplo el caso de la función del punto uno, para no enredarme con racionales podría aplicar las propiedades de los limites y hallar el Lim cuando h tiende a cero del numerador, luego la del denominador y cuando los tenga ya operar matematicamente uno sobre otro y asi obtener mi derivada… O no se puede? La verdad siempre me se me dificulta operar los racionales, te agradecería inmensamente si me das un truco o una ayudita con eso.

    • Lo que sabes es que las rectas son tangentes a la curva y=x^2+x y que pasan por el punto (2,-3). Así, si (a,a^2+a) es un punto sobre la curva, la pendiente de la tangente en este punto es 2a+1, y como pasa por el punto (2.-3), la ecuación de la recta sería y=(2a+1)x-4a-5. Puesto que (a, a^2+a) también esta sobre la recta, se debe satisfacer que
      a^2+a=(2a+1)a-4a-5, es decir, se debe satisfacer
      a^2-4a-5=0, con lo que a=5 y a=-1. Así los puntos sobre la curva en los que las rectas tangentes pasan por (2,-3) son (5,30) y (-1,0). Falta escribir las ecuaciones de estas rectas.

    • Sip..pero eso ya lo hicimos y, de hecho, ya está resuelto en el Stewart…la idea es que ustedes lo lean y lo entiendan.

  9. Profe en el punto 2a, basta con que, después de haber hecho el respectivo procedimiento con la funcion de forma (x+h) y nos da el límite que no existe cuando h tiende a 0, basta con decir que dicho límite no existe o tenemos que demostrar que ese límite no existe también?

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