Taller n° 2 ALB-Grupo 3

Buenas noches muchahos, ya pueden revisar su correo… hoy en horas de la tarde les envié un pdf con el segundo taller correspondiente al programa calendario: matrices, sistemas de ecuaciones y determinantes.  Si tienen alguna duda respecto a algún punto en particular, podemos discutirla aquí o, si lo prefieren, envíenme un correo… lo importante es que traten de resolver todas  las inquietudes que vayan surgiendo, vale?

Taller 2-01-11 ALB

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10 comentarios en “Taller n° 2 ALB-Grupo 3

  1. Con referencia al punto 23 del taller me inquieta como puedo demostrar que A+B es invertible.
    Porque; sabemos que si A+B es invertible entonces; debemos ver que (A+B)(A+B)^(-1)=I, teniendo en cuenta que el anterior producto es conmutativo, que tanto A como B son invertibles.
    Ahora,
    Si A+B=C entonces, por hipótesis, se puede afirmar que A^(-1)(A+B) = A^(-1)C, donde B=A^(-1)C-I y B^(-1)B=B^(-1)(A^(-1)C-I), donde I=B^(-1)(A^(-1)C-I),.
    Ah, pero no he tenido buenos resultados pues complejicé el trabajo…
    Cualquier idea es bienvenida… 🙂

    • Bien, la pregunta en dicho punto es si dadas dos matrices invertibles, es cierto o no que su suma o su resta es invertible. La respuesta es NO. Por ejemplo: considera A=I_{n} y B=-I_{n}, entonces tanto A como B son invertibles pero A+B=0 es claramente no invertible… ejemplos similares puedes esbozar para el caso de la diferencia de matrices invertibles. Para el caso -A, puedes mostrar que si A^{-1} es la inversa de A, entonces
      -A^{-1} es la inversa de -A, y en esta caso -A si resulta ser invertible.

  2. Buena noche profe y compañeros…
    Con respecto al punto 18 del taller me genera gran duda la solución de (A+B)^r pueda ser nilpotente, pues he llegado a la siguiente expresión; “(A`B)^r=rA^(r-1)B+…+rAB^(r-1)”teniendo en cuenta que AB es conmutativo.
    No he logrado demostrar que esa suma es igual a cero…
    ALguien me podría colaborar…
    Atenta a comentarios

    • Hola!!… bien, como sabes que tanto A como B son nilpotentes, existen enteros no negativos, digamos r y s, tales que A^{r}=0 y B^{s}=0.
      Bien, ahora consideras el siguiente producto (similar a lo que ya habías hecho):
      (A+B)^{r+s}. Como estamos suponiendo que AB=BA, en este caso vale aquella regla del binomio de Newton que se ve en el colegio; e.d.,
      (A+B)^{r+s}=A^{r+s}+ (r+s “combinado” 1)A^{r+s-1}B+(r+s “combinado” 2)A^{r+s-2}B^{2}+…+AB^{r+s-1}+B^{r+s}

      Ahora, nota en la anterior suma siembre va a aparecer un A^{r} o un B^{s}, lo que implica que cada uno de los sumandos es cero y, en consecuencia, que (A+B)^{r+s} es nulo, es decir, A+B es nilpotente.

      Revisa con detalle lo que te acabo de comentar y cualquier comentario estaré pendiente, vale?

  3. Con respecto al punto 16) del taller, no he conseguido mostrar que a partir de A^n= 0, I-A es invertible. He intentado partir que A*A= 0 y con eso conseguir una expresión de forma X(I-A)=I, pero no he tenido mucho éxito, qué recomendación me podrías dar?
    Por otro lado, he tenido problemas para hallar una forma generalizada que muestre el numeral 17)a. ¿podrías darme alguna luz para eso?
    Muchas gracias

    • Bien, como lo pudiste haber notado, para el caso en que A^2=0, la inversa de I-A es I+A, para A^3=0 inversa es I^2+A+A^2=I+A+A^2… nota la regularidad que vamos obteniendo:
      n=2: (I-A)(I+A)=I^2+A^2=I
      n=3: (I-A)(I^2+A+A^2)=I^3-A^3=I,
      en consecuencia, para el caso general n, basta considerar la siguiente identidad:
      x^{n}-y^{n}=(x-y )(x^{n-1}+x^{n-2}y+…+xy^{n-2}+y^{{n-1}).

      Bien, para el segundo ejercicio que me preguntas tienes que considerar lo siguiente: la traza de una matriz se define como la suma de los elementos sobre su diagonal; recuerda cómo es la entrada i,j-ésima del producto de dos matrices: es el producto punto de la fila i-ésima de la primera matriz con la j-ésima columna de la segunda matriz. En este caso, las entradas que nos interesa son las de la diagonal. Entoces, para el producto AB, su entrada (i,i) será el producto de la i-ésima fila de A con la i-ésima columa de B, e d, A_{i}.B^{i}. Pero el producto punto es conmutativo, luego A_{i}.B^{i}= B_{i}.A^{i} siendo esto último la entrada (i,i) del producto BA y esto vale para cada una de las entradas sobre la diagonal. En consecuencia, AB y BA coinciden sobre su diagonal, de donde se sigue la igualdad en el valor de sus trazas.

      Espero te sea de alguna utilidad lo que acabo de escribir.. igual, cualquier cosa por aquí estaré pendiente, vale?

  4. Probablemente hayan notado que en el punto 15(i), en el producto Ae_{i} hay que considerar es la traspuesta del vector estándar. Pueden descargar el archivo del taller con esto corregido, vale?… Gracias a Mariette por su observación!!!

  5. Con relación al punto 15 de este taller, es decir el segundo, me gustaría saber si la descripción del i-ésimo vector fila, es tan sólo mencionar su estructura, esto es, que son unitarios, dependiendo del espacio en el que se les defina.
    Atenta a comentarios.

    • La idea básicamente es decir a qué corresponde cada uno de tales productos. Por ejemplo, si n=3, e_{1}A es igual a la primera fila de la matriz A (recuerda que para este caso e_{1}=(1 0 0), matriz fila de tamaño 1×3), mientras que A multiplicado por el traspuesto de e_{1} es precisamente la primera columna de A.
      Espero haberte ayudado.

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