Taller n° 4 ALB – Grupo 3

Buenas tardes muchachos….

Probablemente están algo aburridos, con poco qué hacer… así que vengo a rescatarlos de ese ensimismamiento …. les dejo el taller n° 4 pa’ que se entretengan un ratito…  =P

Taller 4-01-11 ALB

Hay algunas definiciones que aún faltan por revisar, y que son necesarias  para que puedan desarrollar en su totalidad este taller… espero el miércoles revisarlas y con eso estaríamos cerrando unidad 4.

Aprovecho la ocasión para ofrecerles disculpas por no acompañarlos el pasado viernes… pero les prometo que después de semana santa, estaré nuevamente al 100 x 100 con ustedes, vale?…

About these ads

30 comentarios en “Taller n° 4 ALB – Grupo 3

  1. He revisado los comentarios que han dejado en esta entrada y en la correspondiente a los ejercicios opcionales. En primer lugar, estaría gustosa de tener una horario de atención para resolver sus dudas, pero qué hago yo si no tengo oficina? (y por lo visto se va a terminar semestre y nada de nada… maldita burocracia :(…..) En segundo lugar, vamos a hacer mañana lo mismo que la última clase: una hora adelantamos tema, y la otra la utilizamos para resolver dudas. Estaré atenta a comentarios… por lo pronto resolveré las dudas que han dejado por aquí… saludos y nos vemos mañana =P

  2. Profe o chicos helpme… ;)
    Como se puede construir la matriz que representa ala transformación lineal cuando sus espacios vectoriales son matrices cuadradas pues para el punto10 ii) necesito ese hecho mi pregunta es si puedo construir un tensor donde cada matriz es “una esquina” de él.
    Recibo cualquier sugerencia para el numeral 10 como tal

    • Hola Mariette, pues la verdad este punto lo hicimos a partir de lo que ella explicó en clase de la matriz asociada. Primero expresas las imagenes de los elementos de la primera base como combinación lineal de los elementos de la segunda base y los escalares que encuentres serán las coordenadas de esos vectores o imagenes en el espacio de llegada; esos vectores serán entonces las columnas de la matriz asociada y ya está. Es decir, en este caso, le aplicas la transformación a las cuatro matrices que forman la base estándar de M_4 y encuentras sus coordenadas para formar la matriz asociada de B1 a B2. No sé si me he dado a entender o si eso responde bien a tu duda… cualquier cosa me avisas :)

      • Si Natalia gracias, pero haber si te entendí, los vectores columnas rde está aplicación resultan ser también matrices ;)
        Entonces, A_{T}=[T_{1} T_{2} T_{3} T_{4}] donde T_{i} es una matriz M_{2×2}.
        Es decir, lo que no me queda claro es cuando dices hallar las coordenadas de la matriz.

      • Hola Mariette, los vectores columna en este caso no son matrices, la imagen de cada elemento de la base si es una matríz en M_2, sin embargo, cuando vas a expresar cada imagen como combinación lineal de los elementos de base estándar consigues justamente 4 escalares por los que multiplicas cada elemento de la base, cierto? esos 4 escalares formarían el vector de lo que llamaríamos las coordenadas de cada imagen en términos de la base estándar, me hago entender? por lo tanto, sean matrices, polinomios, etc., las coordenadas son siempre vectores columnas.

  3. HOla profe o chicos, que pena a estás alturas del partido hacer cuetionamientos, pero no me quiero quedar con la duda.
    En el punto 10. La m_{B_{1}}^{B_{_{2}}}, está formada por los vectores columna: (-1,1,0,0) (-1,-2,1,0) (-5,9,-3,1) y de ser así, Ax=0 es equivalente a escribir xA=0.
    Help…

    • Hola Mariette. La matriz de representación de la transformación que tu obtuviste es de tamaño 4×3. De manera que al considerar la ecuación AX=0, el vector X es de tamaño 3×1. Agora, si tu consideras la ecuación XA=0, el vector X, en este caso, debe ser de tamaño 1×4, así que los dos sistemas que consideras NO son equivalentes….

  4. HOla profe ;)
    tenemos una dudilla con respecto asl punto 7, puesto que el enunciado afirma que dado W un sub-espacio de R^{4} donde, tq sus elementos (a,b,c,d) pertenecen a R^{4}, satisfacen que a + 2b = 0 y c – 15d = 0.
    Ahora, nosotros lo solucionamos de la siguiente manera:
    Teniendo en cuenta que la base de W es el generado por; (-2,1,0,0) y(0,0,15,1), entonces la dimW=2.
    Profe tenemos dudas si se resuelve así.

    • Vale… una manera de hacer este ejercicio es considerar la transformación lineal T de R^{4} en R^{2} definida de la siguiente forma:
      T(a,b,c,d):=( a + 2b, c – 15d), así que hallar la dimensión del subespacio W del ejercicio es equivalente a calcular la dimensión del Kernel de T. Entonces, (a,b,c,d) está en Ker(T) si, y sólo si, a + 2b = 0 y c – 15d = 0;
      si, y sólo si, a=-2b y c=15d;
      si, y sólo si, (a,b,c,d)= (-2b,b,15d,d)=(-2,1,0,0)b+(0,0,15,1)d
      Así que {(-2,1,0,0), (0,0,15,1)} es un conjunto generador para el Ker(T)=W, y como estos vectores son l.i., la dimensión del Kernel de T es 2.

  5. Profe es que para resolver el punto 17 del taller necesito calcular la inversa de una transformación lineal y no sé como hacerlo, sospecho que se hace por medio de la base pero no sé. Me podrías decir como realizarlo… Gracias.

    • Hola Lina, si miras por este lado
      Se sabe que toda transformación tiene una representación matricial, para ilustrar como definirla (ver pag. 479 vdel grossman 6 ed.). Trata de hallar la inversa de esta matris y aplica el proceso inverso de la matriz a la aplicación para obtener la transformación inversa…
      Por supuesto para esto necesitas las bases de los espacios vectoriales que involucra la t.l.
      Ahora ayudate de los apuntes en clase , que si no mal recuerdo hay un teorema que dice que sea A_{T} la representación matricial de la aplicación lineal, entonces A`{-1}_{T} es la representación matricial de la transformación lineal inversa.
      Espero sea de ayuda.

    • Garcias Mariette… en efecto… lo que puedes hacer inicialmente es hallar la amatriz de representación de la t.l. respecto a la base canónica de R^{2}, en ese caso obtienes
      m(L)= 2 1
      3 -5
      Hallas la inversa de esta matriz, así que L^{-1}(a,b)= m(L)^{-1}(a,b)

  6. Hola profe, es que tenemos un problema con el punto 15 porque no sabemos cómo encontrar la dimensión del producto cartesiano y su base en términos de la base de U y la base de W utilizando transformaciones…

    • HOla LIna,
      MIra este ejercicio si no mal recuerdo la dimensión del producto cartesiano es análoga a la dimensión del conjunto de matrices de tamaño mxn, es decir, el producto de la dimensión del conjunto de llegada y el conjunto de partida. Claro está que esto lo podemos aplicar si vemos el producto cartesiano como una relación y habría que verificar si es una función pues el comportamiento es ésta última es similar a una transformación salvo excepto casos.
      Además, ayúdate también de libro grossman para el cambio de bases en la página, 486 viendo la transformación a través de su “matriz asociada”.
      Atenta a comentarios.
      Y espero nos sirva.

    • bien, la dimensión del producto cartesiano de dos espacios vectoriales de dimensión finita es LA SUMA DE SUS DIMENSIONES. Ahora bien, supón que tienes V un espacio vectorial de dimensión n con B={u_{1},…,u_{n}} una de sus bases y W un espacio vectorial de dimensión m con S={w_{1},…,w_{m}} una de sus bases. Entonces, una base para VxW es:
      {(u_{1}, 0_{W}),…,(u_{n},0_{W}),(0_{V}, w_{1}),…,(0_{V}, w_{m})}.
      Una manera de ver esto es por ejemplo considerando el producto cartesiano R^{2}xR^{3}, tu sabes que esto es precisamente R^{5}, pero construye una base para este espacio usando lo que te acabo de decir líneas atrás…

  7. Profesoar con respecto al punto 2 del taller el primer punto el cual dice:
    Sea L:R^2 -R^2 una t.l.
    (i) L(3,1)=(1,1= y l(-1.0)=(1.1) no spiden que calculemos L(1,0)
    no sabemos como hallar la transformacion respecto a esos datos:/

    • Hola, para resolver para este punto yo tuve en cuenta el teorema en el que si se tiene un espacio V con base {u_1, …, u_n} y un espacio W con base {w_1, …, w_n} entonces existe una única transformación lineal T: V–>W en la que T(u_1)=w_1.
      Entonces, en este ejercicio lo primero que tienes que hacer es comprobar que los vectores a los que les aplican la transformación (en este caso (3,1) y (-1,0)) son base para el espacio de salida R2, y también comprobar que las imágenes son base parael espacio de llegada R2. Una vez que haces eso puedes aplicar el teorema de la siguiente forma:
      Expresa (1,0) en términos de la base B1={(3,1), (-1,0)}:
      (1.0)=c_1(3, 1)+c_2(-1,0), con eso hallas los escalares c_1 y c_2 y entonces tienes que:
      T(1,0)=c_1*T(3,1)+c_2*T(-1,0)
      Y pues así tienes la imagen de (1,0)
      Espero que te sirva de algo…

  8. Profe, será que nos podría recomendar ejercicios del taller 3 que debemos tener en cuenta para el parcial, es que hace mucho lo hicimos y para estudiar tendríamos que volver a revisar los 40 y algo puntos que tiene el taller…
    Le agradeceríamos mucho y ojalá lo pueda hacer para al menos estudiarlos el martes.

    • Hola Lina… disculpa mi demora para responder, pero es que ese “berraco bicho” (e.d., mi PC =P) me ha estado fallando… en fin… respecto al taller 3, además de tener en cuenta los ejercicios de la TAREA 2 que ustedes ya entregaron (y que espero estar devolviéndolos mañana), pueden revisar los siguientes puntos:
      2, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 15, 18, 20, 21, 23, 25, 26, 29, 30, 32, 35.

  9. Hola profe, por un lado quería preguntar cómo se hacía el punto 5)ii), yo pude hacer el primer numeral pero no se me ha ocurrido cómo crear una transformación de R3 a R3 con esa condición.
    Por otra parte, pongo acá los ejercicios opcionales:
    2.1) Sea V un F-espacio vectorial finito-dimensional, dim(v)=n y B una base,
    dados u_1, …, u_m en V con m menor o igual a n
    {u_1, …, u_m} es L.I en V(Rn) si y solamente si:
    {[u_1]_B, …, [u_n]_B es LI.

    (No estoy segura si ese primero está bien copiado… entonces cualquier corrección mencionarla porfis!)

    2.2) Se puede mostrar que los subespacios de R3 son solamente los siguientes:
    i) {o,o,o}
    ii)R3
    iii) Todas las rectas que pasan por el origen
    iv) Todos los planos que pasan por el origen

    2.3) Muestre que para A en M_mxn (R), Im(A)=

    • Gracias Natalia!!!!!!…. más tardecito, o mañana temprano les dejo por aquí el pdf con los ejercicios opcionales. Bien, respecto a tu inquietud, nota que te están pidiendo definir una t.l. de R^2 en R^3 de tal manera que su imagen sea precisamente el plano con ecuación 2x-y+z=0. Para definir dicha t.l. primero halla una base para este plano. Sean u_1 y u_2 dichos vectores. Dado que toda transformación lineal queda completamente definida si sabes cómo actúa sobre los elementos de la base, basta con establecer T(1,0):=u_1 y T(0,1):= u_2. No es difícil mostrar que la Im(T) es precisamente el plano considerado.

  10. profe , un poco fuera del taller, tengo una dudita, yo se que un conjunto de n vectores en R^m es linealmente dependiente si n>m, esto se puede extrapolar a cualquier campo? , osea cualesquiera grupo de vectores de un campo ,el que sea, ( com por ejemplo matrices, o polinomios), es linealmente dependiente si hay mas vectores que la cantidad de dimenciones del campo?, haha es solo una dudita

    • Si señor!!!, si tu tienes un espacio vectorial de dimensión n y un conjunto de dicho espacio de cardinalidad m mayor que n, entonces este conjunto necesariamente resulta linealmente dependiente. Por ejemplo, tu sabes que el espacio de las matrices cuadradas de orden 2 tiene dimensión 4, así que cualquier subconjunto de cardinalidad estrictamente mayor que 4 es l.d.

  11. Hola, profe, con respecto al 1º punto numeral 3, he tenido dificultad para encontrar las bases del núcleo y la imagen de T, lo único a lo que he podido llegar que las dimensiones de esos espacios son menores de n y por tanto distintas a cero.
    Agradezco cualquier comentario

    • Hola Natalia… para este ejercicio podríamos utilizar algunos hechos del complemento ortogonal de un subespacio en R^n, el problema es que aún no hemos visto este tema, así que intentaremos resolverlo con lo que tenemos… bien, en primer lugar nota que si el vector w_{0} es el cero de R^n, el kernel de la transformación es todo R^n y su imagen es 0. Supongamos entonces que w_{0} es distinto de cero y consideremos por ejemplo el caso n=2: si (u_{1}, u_{2}) está en el kernel de T, entonces
      u_{1}w_{1}+u_{2}w_{2}=0, donde (w_{1},w_{2}) son las coordenadas de w-{0}. Resolviendo este sistema que obtuvimos, tenemos que u_{1}=-u_{2} mientras que u_{2} puede tomar cualquier valor, así, en este caso, una base para el kernel de T es el vector (-w_2/w_1, 1), suponiendo w_{1} distinto de cero . Si consideras ahora el caso n=3 y razonas de la misma forma obtienes que una base para el kernel de T es {(-w_2/w_1, 1, 0), (-w_3/w_1, 0, 1)}…. para n=4, {(-w_2/w_1, 1, 0, 0), (-w_3/w_1, 0, 1, 0), (-w_4/w_1, 0, 0, 1)}… ya se ve cómo continua el asunto… por lo que vimos, la dimensión del kernel es n-1, de manera que la de la imagen es 1 (recuerda ese teorema que dijimos es super importante) y como R tiene dimensión 1 la transformación es sobreyectiva de modo que una base para la imagen puede ser cualquier número real distinto de cero……. puedes revisar qué ocurre, por ejemplo, si la primera entrada de w_{0} es nula….
      Espero que esto te sea de alguna utilidad =P

      • Gracias profe, me imaginaba que la dimensión del kernel era n-1 pero no sabía cómo justificarlo… :)

      • Hola Profe, mira que nosotros hicimos este mismo ejercicio diciendo que la base del núcleo era el generado por este elemento; v ortogonal a w_{0} tal que v pertenece a V.
        Y la dimensión es n-1, porque en R^{n} la cantidad de vectores ortonogales a un vector es n-1 debido a que un vector en este caso v no es ortogonal a sí mismo.
        Atenta a comentarios.

Deja un comentario

Por favor, inicia sesión con uno de estos métodos para publicar tu comentario:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s